Né le 11 mars 1998 à Seraing, Arnaud Bodart est le neveu de Gilbert Bodart, ancien gardien du Standard de Liège entre 1981 et 1996 ainsi que le petit-fils d’André Duchêne, ancien administrateur du matricule 16. Formé au Standard de Liège, Arnaud Bodart fait ses débuts professionnels le 16 mai 2017 en Playoffs 2 contre Waasland-Beveren (victoire 1-3). Quelques jours plus tard, Bodart est également titulaire lors de la victoire face au Lierse (2-0). Lors de la saison 2019-2020, Arnaud Bodart est propulsé à la première place de la hiérarchie des gardiens du Standard de Liège devant Vanja Milinković-Savić et Jean-François Gillet. Le samedi 21 novembre 2020, Bodart marque son premier but et arrache le partage contre Eupen (2-2) dans les arrêts de jeu. Le 14 octobre 2021, il est nommé capitaine des Rouches par son nouvel entraîneur, Luka Elsner. À la suite de mauvais résultats durant la fin de saison 2021-2022, Arnaud Bodart est mis de côté et est remplacé par Laurent Henkinet.

Le 6 juin 2023, Domenico Tedesco annonce qu'Arnaud Bodart est repris chez les Diables Rouges pour la première fois lors des matchs contre l'Autriche et l'Estonie

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